Materi olimpiade matematika SMP adalah materi sekolah SMP dan pendalamannya ditambah dengan beberapa materi baru yang bisa saja tidak di ajarkan pada jenjang smp. Secara umum, ada 4 bidang yang diujikan dalam olimpiade matematika yaitu Aljabar, Teori Bilangan, Geometri, serta Peluang dan Statistika. Adapun Pokok bahasan yang diberi perhatian khusus yang biasanya dijadikan sebagai bahan dalam membuat soal-soal osn, dapat dilihat pada penjelasan di bawah ini.
1. Teori Bilangan
Dalam postingan kali ini, kelasmat akan mencoba menyajikan soal-soal yang mengacu pada uraian diatas khusus untuk Bab Materi Aljabar. dimana soal-soal yang kelasmat sajikan berikut ini merupakan hasil mengumpulkan dari berbagai sumber.
Contoh Soal 1 :
Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = .... (OSP 2004)
Jawaban:
Kalau kita jumlah ketiga persamaan tersebut, maka akan didapat:
(a + b) + (b + c) + (c + a) = 1 + 2 + 3
\( \Leftrightarrow \) 2a + 2b + 2c = 6
\( \Leftrightarrow \) 2(a + b + c) = 6
Jadi a + b + c = 3
Contoh Soal 2:
Buktikan bahwa jika \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(ab + 6 > 3a + 2b\) (OSN 2003)
Jawaban :
Karena \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(a - 2 > 0\) dan \(b - 3 > 0\), sehingga
(a - 2)(b - 3) > 0
\( \Leftrightarrow \) ab - 3a - 2b + 6 > 0
\( \Leftrightarrow \) ab + 6 > 3a + 2b .............Terbukti
Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 - 3x + c. jika f(1) = 4 dan f(2) = 7 maka f(-1) = . . . .
Jawaban:
jika f(1) = 4, \( \Leftrightarrow \) a - 3 + c = 4
\( \Leftrightarrow \) a + c = 7, sehingga:
f(-1) = a + 3 + c = a + c + 3 = 10
jadi nilai f(-1) = 10.
Jika \(\frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}} = y - z~dan~x \ne z\), maka nilai y = . . .(OSP 2009)
Jawaban:
\( y - z = \frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{{{(y - x)}^2} - {{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{\{ (y - x) - (y - z)\} \{ (y - x) + (y - z)\} }}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{(y - x - y + z)(y - x + y - z)}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = 2y - x - z\)
Sehingga di dapat y = x
Diketahui bahwa \(x + \frac{1}{x} = 7\). Tentukan nilai A agar \(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\) .(OSN 2007)
Jawaban:
Dari \(x + \frac{1}{x} = 7\) diperoleh : \({7^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 49 = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\) sehingga \(47 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\) dengan demikian
\(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{5}{6} \times \frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}} = \frac{5}{6}\left( {{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = \frac{5}{6}\left( {48} \right) = 40\)
Jadi Nilai A = 40.
Contoh Soal 6:
Tentukan nilai m agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real.
Jawaban:
Perhatikan bahwa 2x2 + 2mx - (m + 1) = 0 memiliki Diskriminan :
D =2m2 - 4(2)(-(m + 1) = 4m2 + 8m + 8 = 4(m2 + 2m + 2) = 4(m + 1)2 + 4 \( \ge \) 4 \( \ge \) 0 sehingga persamaan itu memiliki 2 solusi real berbeda. Dengan demikian agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real berbeda, haruslah persamaan x2 + mx + 1 tidak memiliki solusi real, atau dengan kata lain memiliki D < 0, yakni m2 - 4 < 0 \( \Leftrightarrow \) -2 < m < 2.
Jadi nilai m yang dimaksud adalah -2 < m < 2.
Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...... (OSK 2003)
Jawaban:
Misal salah satu bilangan tersebut adalah 12 - x . Dengan demikian hasil kalinya adalah x(12 - x) = 12x - x2 = -(x2 - 12x + 36) + 36 = - (x-6)2 + 36 \( \le \) 36.
Jadi nilai maksimum dari hasil perkaliannya adalah 36 dan terjadi saat x = 6.
Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?
Misalkan B menyusul A setelah x. Waktu kendaraan Aa dan B berturut-turut adalah x + 2 dan x, sehingga jarak yang ditempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah 60(x + 2) dan 80x. Kendaraan B menyusul kendaraan A terjadi saat jarak yang ditempuh B sama dengan jarak yang di tempuh A, yaitu 60(x + 2) = 80x \( \Leftrightarrow \) 3(x + 2) = 4x \( \Leftrightarrow \) x = 6
Jadi Kendaraan B menyusul A setelah 6 jam. Jawab e.
Contoh soal 9:
Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ...hari. (OSK 2004) Jawaban:
diketahui bahwa kecepatan makan 7 ekor kambing adalah \(\frac{{7~lapangan}}{{7~hari}} = 1~lapangan/hari\) Sehingga kecepatan makan 1 ekor kambing adalah \(\frac{1}{7}~lapangan\) akibatnya kecepatan makan 3 ekor kambing adalah \(\frac{3}{7}~lapangan\) dengan demikian, rumput seluas 3 lapangan akan dihabiskan dalam waktu \(\frac{3}{{\frac{3}{7}}}\) = 7 hari.
Jika \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \) maka b dinyatakan dalam a adalah . . .
Menurut definisi akar, maka \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{b}{{1 - b}}\) sehingga
\(b = (1 - b){a^2} \Leftrightarrow b = {a^2} - b{a^2} \Leftrightarrow b + b{a^2} = {a^2} \Leftrightarrow b(1 + {a^2}) = {a^2}\)
Dengan demikian \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\) jawab c.
Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD.... berulang sampai tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533? (OSN 2003)
Jawaban:
Perhatikan bahwa pola di atas berulang setiap 10 suku yaitu ABBCCCDDDD. Dengan demikian, kita cukup mencari digit terakhir dari 2533. Digit terakhir dari 2533 = 32 x 27 adalah 4. Sehingga huruf yang menempati urutan ke 2533 sama dengan huruf keempat dari barisan tersebut yaitu huruf C.
Contoh soal 12:
Nilai dari \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) adalah . . .(OSP 2009)
Jawaban:
Kita akan menggunakan pemfaktoran \({x^2} - {y^2} = (x - y)(x + y)\)
S = \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\)
= (2009-2008)(2009+2008)+(2007-2006)(2007+2006)+ . . .+ (3-2)(3+2)+1
= 4017 + 4013 + . . . + 5 + 1
= 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017
Perhatikan bahwa 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 merupakan deret aritmetika dengan a=1, b= 4 dan Un = 4017 .
Dari Un = 4017 di peroleh banyaknya suku pada deret tersebut:
Un = a + (n-1)b = 4017 \( \Leftrightarrow \) 1 + (n-1)4=4017 \( \Leftrightarrow \) 4n = 4020 \( \Leftrightarrow \) n = 1005
Jadi banyak Suku pada deret tersebut ada 1005 suku. Dengan demikian :
\(S = \frac{1}{2}n(a + {u_n}) = \frac{{1005(1 + 4017)}}{2} = \frac{{1005(4018)}}{2} = 2.019.045\)
Jadi \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) = 2.019.045.
- Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan bulat.
- Pembagian Bersisa
- Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan rasional
- Sifat-sifat operasi pada himpunan bilangan real.
- Klasifikasi bilangan (bulat, pecahan, rasional, irrasional)
- Merasionalkan bentuk akar. - FPB dan KPK
- Himpunan
- Himpunan bagian
- Operasi dua himpunan - Fungsi
- Pengertian fungsi
- Sifat-sifat fungsi secara umum - Perbandingan
- Perbandingan senilai
- Perbandingan berbalik nilai - Faktorisasi suku aljabar
- Bentuk a2 - b2 = (a + b)(a - b)
- Bentuk (a + b)n - Persamaan garis lurus
- Pertidaksamaan linier satu variabel
- Sistem persamaan linier dua variabel
- Eksponen dan logaritma
- Pola bilangan
- Persamaan kuadrat
- Bangun datar
- Segi-n dan lingkaran
- Garis tinggi dan garis berat segitiga
- Titik berat segitiga - Bangun ruang
- Volume tabung, kerucut dan bola
- Volume tabung dan kerucut terpancung
- Luas selimut tabung, kerucut dan bola
- Luas selimut tabung dan kerucut terpancung - Dalil Pythagoras
- Trigonometri
- Peluang kejadian
- Ukuran pemusatan
- Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari
- Kemampuan menyerap materi baru (definisi baru)
Dalam postingan kali ini, kelasmat akan mencoba menyajikan soal-soal yang mengacu pada uraian diatas khusus untuk Bab Materi Aljabar. dimana soal-soal yang kelasmat sajikan berikut ini merupakan hasil mengumpulkan dari berbagai sumber.
Daftar isi Bacaan :
Aljabar
Aljabar adalah materi dasar yang digunakan untuk memahami bidang-bidang lainnya. Materi ini sebagian besar sudah dipelajari di sekolah (materi-materi rutin). Dengan demikian, di sini kita hanya perlu memperdalam pengetahuan dan teknik dalam penyelesaian soal nyata di olimpiade atau osn matematika smp. Namun, Dalam memahami materi-materi aljabar, kita tidak bisa terlepas dari materi persamaan. Oleh karena itu, diharapkan pembaca sudah menguasai persamaan yang telah dipelajari di sekolah yaitu teknik-teknik menyelesaikan persamaan ataupun sistem persamaan seperti metode grafik, metode subtitusi, dan metode eliminasi serta perlu juga mempelajari teknik-teknik penyelesaian tidak rutin selain tiga teknik tersebut.Persamaan dan pertidaksamaan
Contoh Soal 1 :
Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = .... (OSP 2004)
Jawaban:
Kalau kita jumlah ketiga persamaan tersebut, maka akan didapat:
(a + b) + (b + c) + (c + a) = 1 + 2 + 3
\( \Leftrightarrow \) 2a + 2b + 2c = 6
\( \Leftrightarrow \) 2(a + b + c) = 6
Jadi a + b + c = 3
Contoh Soal 2:
Buktikan bahwa jika \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(ab + 6 > 3a + 2b\) (OSN 2003)
Jawaban :
Karena \(a > 2\) dan \(b > 3\) maka \(a - 2 > 0\) dan \(b - 3 > 0\), sehingga
(a - 2)(b - 3) > 0
\( \Leftrightarrow \) ab - 3a - 2b + 6 > 0
\( \Leftrightarrow \) ab + 6 > 3a + 2b .............Terbukti
Fungsi
Contoh Soal 3:Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 - 3x + c. jika f(1) = 4 dan f(2) = 7 maka f(-1) = . . . .
Jawaban:
jika f(1) = 4, \( \Leftrightarrow \) a - 3 + c = 4
\( \Leftrightarrow \) a + c = 7, sehingga:
f(-1) = a + 3 + c = a + c + 3 = 10
jadi nilai f(-1) = 10.
Faktorisasi Bentuk Aljabar
Contoh Soal 4:Jika \(\frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}} = y - z~dan~x \ne z\), maka nilai y = . . .(OSP 2009)
Jawaban:
\( y - z = \frac{{{{(y - x)}^2}}}{{z - x}} - \frac{{{{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{{{(y - x)}^2} - {{(y - z)}^2}}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{\{ (y - x) - (y - z)\} \{ (y - x) + (y - z)\} }}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = \frac{{(y - x - y + z)(y - x + y - z)}}{{z - x}}\)
\( \Leftrightarrow y - z = 2y - x - z\)
Sehingga di dapat y = x
Kuadrat sempurna dan Persamaan Kuadrat
Contoh Soal 5:Diketahui bahwa \(x + \frac{1}{x} = 7\). Tentukan nilai A agar \(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\) .(OSN 2007)
Jawaban:
Dari \(x + \frac{1}{x} = 7\) diperoleh : \({7^2} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\( \Leftrightarrow 49 = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}\) sehingga \(47 = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}\) dengan demikian
\(\frac{{A{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}} = \frac{5}{6}\)
\( \Leftrightarrow A = \frac{5}{6} \times \frac{{{x^4} + {x^2} + 1}}{{{x^2}}} = \frac{5}{6}\left( {{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = \frac{5}{6}\left( {48} \right) = 40\)
Jadi Nilai A = 40.
Contoh Soal 6:
Tentukan nilai m agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real.
Jawaban:
Perhatikan bahwa 2x2 + 2mx - (m + 1) = 0 memiliki Diskriminan :
D =2m2 - 4(2)(-(m + 1) = 4m2 + 8m + 8 = 4(m2 + 2m + 2) = 4(m + 1)2 + 4 \( \ge \) 4 \( \ge \) 0 sehingga persamaan itu memiliki 2 solusi real berbeda. Dengan demikian agar persamaan (2x2 + 2mx - (m + 1))(x2 + mx + 1) = 0 mempunyai tepat dua solusi real berbeda, haruslah persamaan x2 + mx + 1 tidak memiliki solusi real, atau dengan kata lain memiliki D < 0, yakni m2 - 4 < 0 \( \Leftrightarrow \) -2 < m < 2.
Jadi nilai m yang dimaksud adalah -2 < m < 2.
Ketaksamaan
Contoh 7:Jumlah dua bilangan sama dengan 12. Hasil kali dua bilangan tersebut nilainya akan paling besar jika salah satu bilangannya adalah ...... (OSK 2003)
Jawaban:
Misal salah satu bilangan tersebut adalah 12 - x . Dengan demikian hasil kalinya adalah x(12 - x) = 12x - x2 = -(x2 - 12x + 36) + 36 = - (x-6)2 + 36 \( \le \) 36.
Jadi nilai maksimum dari hasil perkaliannya adalah 36 dan terjadi saat x = 6.
Perbandingan
Contoh soal 8:Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?
- 2 jam
- 3 jam
- 4 jam
- 5 jam
- 6 jam
Misalkan B menyusul A setelah x. Waktu kendaraan Aa dan B berturut-turut adalah x + 2 dan x, sehingga jarak yang ditempuh kendaraan A dan B berturut-turut adalah 60(x + 2) dan 80x. Kendaraan B menyusul kendaraan A terjadi saat jarak yang ditempuh B sama dengan jarak yang di tempuh A, yaitu 60(x + 2) = 80x \( \Leftrightarrow \) 3(x + 2) = 4x \( \Leftrightarrow \) x = 6
Jadi Kendaraan B menyusul A setelah 6 jam. Jawab e.
Contoh soal 9:
Tujuh ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepak bola dalam waktu 7 hari. Waktu yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepak bola adalah ...hari. (OSK 2004) Jawaban:
diketahui bahwa kecepatan makan 7 ekor kambing adalah \(\frac{{7~lapangan}}{{7~hari}} = 1~lapangan/hari\) Sehingga kecepatan makan 1 ekor kambing adalah \(\frac{1}{7}~lapangan\) akibatnya kecepatan makan 3 ekor kambing adalah \(\frac{3}{7}~lapangan\) dengan demikian, rumput seluas 3 lapangan akan dihabiskan dalam waktu \(\frac{3}{{\frac{3}{7}}}\) = 7 hari.
Eksponen
contoh soal 10.Jika \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \) maka b dinyatakan dalam a adalah . . .
- \(b = 1 + {a^2}\)
- \(b = \frac{{1 + {a^2}}}{{{a^2}}}\)
- \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\)
- \(b = \frac{{1 - {a^2}}}{{{a^2}}}\)
- \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\)
Menurut definisi akar, maka \(a = \sqrt {\frac{b}{{1 - b}}} \Leftrightarrow {a^2} = \frac{b}{{1 - b}}\) sehingga
\(b = (1 - b){a^2} \Leftrightarrow b = {a^2} - b{a^2} \Leftrightarrow b + b{a^2} = {a^2} \Leftrightarrow b(1 + {a^2}) = {a^2}\)
Dengan demikian \(b = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}\) jawab c.
Barisan dan Deret Bilangan
Contoh Soal 11.Pola ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD.... berulang sampai tak terhingga. Huruf apakah yang menempati urutan ke 2533? (OSN 2003)
Jawaban:
Perhatikan bahwa pola di atas berulang setiap 10 suku yaitu ABBCCCDDDD. Dengan demikian, kita cukup mencari digit terakhir dari 2533. Digit terakhir dari 2533 = 32 x 27 adalah 4. Sehingga huruf yang menempati urutan ke 2533 sama dengan huruf keempat dari barisan tersebut yaitu huruf C.
Contoh soal 12:
Nilai dari \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) adalah . . .(OSP 2009)
Jawaban:
Kita akan menggunakan pemfaktoran \({x^2} - {y^2} = (x - y)(x + y)\)
S = \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\)
= (2009-2008)(2009+2008)+(2007-2006)(2007+2006)+ . . .+ (3-2)(3+2)+1
= 4017 + 4013 + . . . + 5 + 1
= 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017
Perhatikan bahwa 1 + 5 + 9 + ... + 4013 + 4017 merupakan deret aritmetika dengan a=1, b= 4 dan Un = 4017 .
Dari Un = 4017 di peroleh banyaknya suku pada deret tersebut:
Un = a + (n-1)b = 4017 \( \Leftrightarrow \) 1 + (n-1)4=4017 \( \Leftrightarrow \) 4n = 4020 \( \Leftrightarrow \) n = 1005
Jadi banyak Suku pada deret tersebut ada 1005 suku. Dengan demikian :
\(S = \frac{1}{2}n(a + {u_n}) = \frac{{1005(1 + 4017)}}{2} = \frac{{1005(4018)}}{2} = 2.019.045\)
Jadi \({2009^2} - {2008^2} + {2007^2} - {2006^2} + {2005^2} + ... + {3^2} - {2^2} + {1^2}\) = 2.019.045.
Terimakasih Kamu sudah membaca Tulisan kami mengenai Kumpulan Soal-soal OSN Matematika SMP Materi Aljabar dan Pembahasannya. Semoga Bermanfaat dan jangan lupa bagikan artikel ini dengan klik link berbagi dibawah ini.
