Sebelum kita mulai latihan soal limit fungsi, mari kita kilas balik dulu materinya ya. Siapa tau kalian sudah pada lupa. Kemaren saya juga sudah menjelaskan mengenai konsep pengertian limit fungsi yang saya ilustrasikan dengan seekor katak yang melompat kedalam kolam. Silahkan dibaca dulu ya.
Ada dua bentuk yang akan kita pelajari mengenai limit fungsi aljabar ini. yang pertama adalah bentuk fungsi f(x) yang tertentu untuk x = a, dan yang kedua adalah bentuk fungsi f(x) yang tidak tentu untuk x = a. Untuk lebih jelasnya, simak penjelasan di bawah ini ya.
Sebagai contoh: Tentukan nilai limit dari : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4 } (3x - 5)\)
Untuk menjawabnya kita cukup mengganti nilai x pada (3x - 5) dengan 4. Sehingga diperoleh nilai limit sebagai berikut:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (3x - 5) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7\]
Secara Umum dapat kita ambil kesimpulan bahwa bila f(x) tertentu untuk x = a, maka: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\]
\(\frac{{(x - a)}}{{(x - a)}} = 1\) dalam limit tersebut \(x - a \ne 0\) atau \(x \ne a\) tetapi nilai x mendekati a.
Contoh soal: Hitunglah nilai limit dari: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{2{x^2} - x - 15}}\)
Untuk Menjawabnya, kita perlu mencari faktor persekutuannya, yaitu (x-3). Sehingga dapat kita selesaikan sebagai berikut:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{2{x^2} - x - 15}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x + 2)}}{{(x - 3)(2x + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 2}}{{2x + 5}} = \frac{{3 + 2}}{{2.3 + 5}} = \frac{5}{{11}}\] Jadi nilai dari \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{2{x^2} - x - 15}}\) adalah \(\frac{5}{{11}}\)
Untuk Menjawabnya kita gunakan faktor sekawannya sehingga penyelesaiannya akan seperti di bawah ini:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3 + {x^2}} - \sqrt {3 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3 + {x^2}} - \sqrt {3 - {x^2}} }} \times \frac{{\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} }}{{\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} }}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}(\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} )}}{{(3 + {x^2}) - (3 - {x^2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}(\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} )}}{{2{x^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} )}}{2} = \frac{{(\sqrt {3 + {0^2}} + \sqrt {3 - {0^2}} )}}{2} \)
\( = \sqrt 3 \)
\( = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = 2\)
\( = \sqrt 4 + 2 = 2 + 2 = 4\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(\sqrt {{x^2} - 4} )}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x + 2}} = \frac{{\sqrt {{2^2} - 4} }}{{2 + 2}} = \frac{0}{4} = 0\)
Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar
Fungsi f(x) yang Tertentu untuk x = a
Untuk fungsi f(x) yang tertentu untuk x = a, dalam mencari nilai limitnya dilakukan dengan mensubstitusi nilai x nya secara langsung.Sebagai contoh: Tentukan nilai limit dari : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4 } (3x - 5)\)
Untuk menjawabnya kita cukup mengganti nilai x pada (3x - 5) dengan 4. Sehingga diperoleh nilai limit sebagai berikut:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (3x - 5) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7\]
Secara Umum dapat kita ambil kesimpulan bahwa bila f(x) tertentu untuk x = a, maka: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a)\]
Fungsi f(x) yang tidak Tentu untuk x = a
Bila dengan cara substitusi langsung menghasilkan nilai \(\frac{0}{0}\) {Nilai \(\frac{0}{0}\) disebut bentuk tak tentu}, atau \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{f(a)}}{{g(a)}} = \frac{0}{0}\] maka dalam perhitungan nilai limit dilakukan dengan cara :Memfaktorkan f(x) dan g(x) sehingga diperoleh persekutuannya
Faktor persekutuan dari f(x) dan g(x) yaitu (x - a) bila f(x) dan g(x) mempunyai faktor (x - a). \[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{(x - a).h(x)}}{{(x - a).k(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{h(x)}}{{k(x)}} = \frac{{h(a)}}{{k(a)}}\] dengan catatan bahwa \(\frac{{h(a)}}{{k(a)}} \ne \frac{0}{0}\)\(\frac{{(x - a)}}{{(x - a)}} = 1\) dalam limit tersebut \(x - a \ne 0\) atau \(x \ne a\) tetapi nilai x mendekati a.
Contoh soal: Hitunglah nilai limit dari: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{2{x^2} - x - 15}}\)
Untuk Menjawabnya, kita perlu mencari faktor persekutuannya, yaitu (x-3). Sehingga dapat kita selesaikan sebagai berikut:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{2{x^2} - x - 15}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x + 2)}}{{(x - 3)(2x + 5)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x + 2}}{{2x + 5}} = \frac{{3 + 2}}{{2.3 + 5}} = \frac{5}{{11}}\] Jadi nilai dari \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{2{x^2} - x - 15}}\) adalah \(\frac{5}{{11}}\)
Namun yang menjadi masalah adalah ketika kita menjumpai soal seperti di atas tapi antara fungsi f(x) dan g(x) tidak mempunyai faktor persekutuan. Nah alternatifnya adalah dengan cara melalukan operasi aljabarnya terlebih dahulu, misalnya dengan mengalikan f(x) dan g(x) dengan faktor sekawan yang sama atau harus dengan operasi aljabar yang lain.
Coba perhatikan contoh dibawah ini
Tentukan nilai limit dari : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3 + {x^2}} - \sqrt {3 - {x^2}} }}\)Untuk Menjawabnya kita gunakan faktor sekawannya sehingga penyelesaiannya akan seperti di bawah ini:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3 + {x^2}} - \sqrt {3 - {x^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {3 + {x^2}} - \sqrt {3 - {x^2}} }} \times \frac{{\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} }}{{\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} }}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}(\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} )}}{{(3 + {x^2}) - (3 - {x^2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}(\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} )}}{{2{x^2}}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\sqrt {3 + {x^2}} + \sqrt {3 - {x^2}} )}}{2} = \frac{{(\sqrt {3 + {0^2}} + \sqrt {3 - {0^2}} )}}{2} \)
\( = \sqrt 3 \)
Saatnya Latihan Soal Limit Fungsi
Setelah mempelajari contoh-contoh di atas, saya harap kalian sudah mengerti ya bagaimana cara menyelesaikan soal limit. Ingat, tadi untuk latihan kali ini kita akan menggunakan tiga cara seperti yang sudah saya jabarkan di atas, mulai dari substitusi langsung, memfaktorkan dan terakhir dengan mengalikan dengan faktor sekawannya. Oke kita lets go.Soal 1
Tentukan nilai limit dari: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} - 3x - 10)\)Pembahasan soal 1
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} - 3x - 10) = {2^2} - 3.2 - 10 = 4 - 6 - 10 = - 12\]Soal 2
Tentukan nilai limit dari : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {(2x - 3)^2}\)Pembahasan Soal 2
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {(2x - 3)^2} = {(2.1 - 3)^2} = {(2 - 3)^2} = {( - 1)^2} = 1\]Soal 3
Tentukan nilai limit dari : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\)Pembahasan Soal 3
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{{5 + 2}}{{5 - 3}} = \frac{7}{2}\]Soal 4
Tentukan nilai limit dari : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2{x^2} + 6x}}{{2{x^2} + 9x + 9}}\)Pembahasan Soal 4
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{2{x^2} + 6x}}{{2{x^2} + 9x + 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{2x(x + 3)}}{{(2x + 3)(x + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \frac{{2x}}{{(2x + 3)}} = \frac{{2.( - 3)}}{{2.( - 3) + 3}}\)\( = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = 2\)
Soal 5
Hitunglah nilai limit dari: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}}\)Pembahasan Soal 5
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt x + 2\)\( = \sqrt 4 + 2 = 2 + 2 = 4\)
Soal 6
Tentukan nilai limit dari : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)Pembahasan Soal 6
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} \times \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)\sqrt {{x^2} - 4} }}{{({x^2} - 4)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(\sqrt {{x^2} - 4} )}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x + 2}} = \frac{{\sqrt {{2^2} - 4} }}{{2 + 2}} = \frac{0}{4} = 0\)
Soal 7
Tentukan nilai limit dari: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 1)}^2} - 1}}{x}\)Pembahasan Soal 7
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + 1)}^2} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(x + 2)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 2) = 0 + 2 = 2\]Itu saja mungkin latihan soal limit fungsinya. Jika ada pertanyaan atau ada pembahasan yang kurang tepat, silahkan berikan tanggapanmu dikolom komentar dibawah ini. Semoga soal-soal latihan limit fungsi ini dapat membantu bagi kalian yang sedang belajar limit fungsi. Dan jangan lupa tekan tombol lonceng disamping kiri untuk subscribe blog ini.
Terimakasih Kamu sudah membaca Tulisan kami mengenai Saatnya Latihan Soal Limit Fungsi [+ Pembahasan]. Semoga Bermanfaat dan jangan lupa bagikan artikel ini dengan klik link berbagi dibawah ini.
